Automatismos y Control: marzo 2012

martes, 27 de marzo de 2012

Transformada de Laplace

Transformada de Laplace:

La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{-\varepsilon}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

$F_B(s) = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.$

Propiedades de nuestro interés:

Linealidad

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

Derivación

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - \sum_{i=1}^{n} s^{n - i} f^{(i - 1)}(0)$

Integración

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}$

Dualidad

$\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)$

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martes, 6 de marzo de 2012

Identificar las entradas y salidas

Identificar las entradas y salidas de los siguientes ejemplos:

Bicicleta:

Entradas:

Fuerza ejercida por los pedales (velocidad)
Ángulo de inclinación de la bicicleta (equilibrio)
Estado del manillas (cambio de dirección)

Salidas:

Velocidad.
Ángulo de inclinación.
Dirección de la bicicleta.

Avión

Entradas:

Hélice.
Alerones: Desplazamiento en el eje x (Roll).
Elevator: Desplazamiento en el eje y (Picth).
Rudder: Desplazamiento en el eje z (Yaw).

Salidas:

Velocidad.
posición del avión respecto a x=y=z=0º.

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